如图，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．求证：BD=CD．

如图所示，两条笔直的公路AO与BO相交于点O，村庄D和E在公路AO的两侧，现要在公路AO和BO之间修一个供水站P向D，E两村供水，使供水站P到两公路的距离相等，且到D，E两村的距离也相等．请你在图中画出点P的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

（2021河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是          （填序号）．
①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL
（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．

已知在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如图1，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB=AC+CD．
（2）如图2，∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，则线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAE的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．


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如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于点O．求证：AD垂直平分EF．

尺规作图：如图，已知∠AOB及M，N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到这个角两边的距离相等，且到点M，N的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．

如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于
点M，N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：                  ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数有          个；
（3）图2中，当∠D=50°，∠B=40°时，求∠P的度数；
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

（2019上海）如图，AD，BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．求证：∠E=∠C．

探究：
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
求证：∠P=90°+∠A．
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．

在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数．
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，则∠EFD与∠C-∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图3中画出符合题意的图形并说明理由；若不成立，请直接写出成立的结论．