如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作DE⊥AB于点E，连接CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）．
（1）如图1，若α=45°，则△ECK的形状为             ；
（2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK；
（3）若△ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）．

如图，在正方形ABCD中，M，N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN=45°．
（1）如图1，当点M，N分别在线段BC，DC上时，请直接写出线段BM，MN，DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，若CN=CD=6，设DB与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ，AP的长．

数学课上，张老师出示了如下题目．
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E和点F分别是边AB和AC上的点，且始终满足DE⊥DF，试确定DE与DF的大小关系．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
如图1，若点E与点A重合时，点F与点C重合，容易得到DE与DF的大小关系．请你直接写出结论：DE    DF（填“＞”，“<”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
如图2，若点E不与点A重合时，DE与DF的大小关系是：DE    DF（填“＞”，“<”或“=”）．理由如下：连接AD．（请你完成剩下的解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E和点F分别是直线AB和直线AC上的点，且始终满足DE⊥DF，若AB=AC=1，BE=2，求CF的长．（请你直接写出结果）

（2021武汉）问题提出
如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
（1）先将问题特殊化如图2，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
（2）再探究一般情形如图1，当点D，F不重合时，证明1中的结论仍然成立．
问题拓展
如图3，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

如图，两等腰直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，DE=4，AB=2．设EC=m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB=45°．
（1）当m=4时，=           ；
（2）当m=4时，△ABC绕点C逆时针旋转90°，求的值；
（3）当0<m<4时，△ABC绕点C逆时针旋转θ度（0<θ<90），原题中其他条件不变，求的值（用含m的代数式表示）．

（2021郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）求证：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①求证：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°；
②若AB=AC=4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

为了求3+3²+…+3¹⁰⁰的值，可令M=3+3²+…+3¹⁰⁰，则3M=3²+3³+…+3¹⁰¹，因此3M-M=2M=3¹⁰¹-3，所以M=，即3+3²+…+3¹⁰⁰，仿照以上推理计算：5+5²+5³+…+5^{2 019}．

（2020赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N，AB=，AD=4．
（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM        ∠EPN；
②的值是           ．
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．

（2021赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α（0°<α<180°），点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP，点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m，n，α的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
问题发现
小明研究了α=60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为=       ，β=       ；
小红研究了α=90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为=       ，β=       ；
类比探究
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
归纳总结
最后他们终于共同探究得出规律：=     （用含m，n的式子表示）；β=     （用含α的式子表示）．
（2）求出α=120°时的值和β的度数．

（1）操作发现
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′，
连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B=         °．
（2）问题解决
如图2，在Rt△ABC中，BC=1，∠C=90°，延长CA到D，使CD=1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到
AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）拓展延伸
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=1，CD=3，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．