如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.

（2010宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长.

如图，在△ABC中，AB=AC，
（1）若P为边BC上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB²-AP²；

（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.

如图所示，在直角三角形ABC 中,∠BAC=90°，AC=AB ，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4 ,
求DE 的长.

如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.

如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB＝BC=2AD，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求梯形ABCD的面积．

如图：正方形ABCD中有一点P,且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．

如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 ，BE=1,P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是？

如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

在 △ABC中,AB=AC=1 , BC边上有2006个不同的点P₁ ，P₂,……P₂₀₀₆，记   ,则 =_____.