如图1，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°<α<90°），得到图2，AE与MP，BD分别交于点G，H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图3，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．
（1）观察猜想
在图1中，当点D在BC上，点E在AC上时，AE与AM的数量关系是        ，∠MAE=        ；
（2）探究证明
将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展应用
若CD=BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°<α<360°），当ME=CD时，请直接写出α的值．

在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高．
问题发现：
（1）如图1，若∠ACB=90°，点E是线段AB上一个动点（点E不与点A，B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，我们会发现CD，BE，BF之间的数量关系是CD=(BE+BF)，请你证明这个结论；
提出猜想：
（2）如图2，若∠ACB=60°，点E是线段AB上一个动点（点E不与点A，B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接BF，猜想线段CD，BE，BF之间的数量关系是          ；
拓广探索：
（3）若∠ACB=α，CD=k·AB（k为常数），点E是线段AB上一个动点（点E不与点A，B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转α，得到线段CF，连接BF．请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答．

如图，已知等腰直角三角形ABC中，D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，点M为斜边BC所在直线上一动点，且三角形DMN为等腰直角三角形（DM=DN，D，M，N呈逆时针）．
（1）如图1点M在边BC上，判断MF和AN的数量和位置关系，请直接写出你的结论．
（2）如图2点M在B点左侧时；如图3，点M在C点右侧．其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，并选择图2或图3的一种情况来说明理由．
（3）在图2中若∠DMB=α，连接EN，请猜测MF与EN的数量关系，即MF=        EN．（用含α的三角函数的式子表示）

观察猜想
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE=AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则      ，sin∠ADE=      ；
探究证明
（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD=AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED=nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，α的式子表示）

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，，其他条件不变，求线段AM的长．

在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）记，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）

如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，        ；②当α=180°时，         ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α<360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为，求FH的长．

【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线平行于AB．∠EDF=90°，点D在直线上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；
（2）如图3，点P是AC上的任意一点（不含端点A，C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；
【拓展延伸】
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A，B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q．这个数学兴趣小组经过多次取点M反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值．