如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，M为BC上的一点，N为CD上的一点，求证：若△AMN有一个内角等于60°，则△AMN为等边三角形.

(1)情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是_____，∠CAC′=______°．
(2)问题探究:如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
(3)拓展延伸:如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°。如图甲，连结DE，设M为DE的中点。
（1）求证：MB=MC；
（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论。

如图，以△ABC的AB、AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，M是BC的中点.（1）求证：DM=ME；（2）求∠DME的度数.

如图，D为△ABC中线AM的中点，过M作AB、AC边的垂线，垂足分别为P、Q。过P、Q分别做DP、DQ的垂线交于点N。
（1）求证：PN=QN
（2）求证：MN⊥BC

如图，以Rt△ABC的直角边AC、BC向外作正方形ACFG、BCED，P是AB中点，延长PC交EF于H，求证：PH⊥EF.

如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点。求证：MN⊥DE

 （2008天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
 （1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN²=AM²+BN²
 （2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式：MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

如图，△ABC中，AB＝AC，D、E是AB、AC上的点且AD＝CE．求证：2DE≥BC．

线段AB＝CD＝1，且相交于点O， ∠AOC＝60°．求证：AC＋BD≥1．