如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B,C,G在同一直线上,点M是AE的中点.
(3)将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,如图3,其他条件不变,则(1)中得到的结论(MD⊥MF)是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

解题思路:(2)小明类比前两问,看到图3中M是AE的中点,并且AD∥BE,考虑延长DM交BE于点H,连接FD、FH,如下图,先证明           ,由全等的性质可以得到           .因为DC=AD,所以DC=HE,结合题目中的条件FC=FE,∠DCF=∠FEH==45°.又可以利用判定定理           证得           ,得到FD=FH,在等腰△DFH中,由等腰三角形三线合一,得到MF⊥DH,从而证明结论.
以上横线处,依次所填正确的是(    )
①△ADM≌△EHM;②△DCF≌△HEF;③DM=HM,AD=HE;④FD=FH;⑤SSA;⑥ASA;⑦SAS.

如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B,C,G在同一直线上,点M是AE的中点.
(2)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使D,C,G三点在一条直线上,如图2,其他条件不变,则(1)中得到的结论(MD⊥MF)是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.



解题思路:(2)小明类比第(1)问,看到图2中M是AE的中点,并且AD∥GE,考虑延长DM交GE于点H,连接FD、FH.如下图,先证明           ,由全等的性质可以得到           ,进而可以得到DC=HE,由题目中的已知条件由∠DCF=∠FEH=90°,FC=FE,又可以利用判定定理           证得           ,得到FD=FH,在等腰△DFH中,由等腰三角形三线合一,得到           ,从而证明结论.
以上横线处,依次所填正确的是(    )
①△ADM≌△EHM;②△FDC≌△FHE;③DM=HM,AD=HE;④FD=FH;⑤SSA;⑥ASA;⑦SAS;⑧MF⊥DH;⑨FM平分∠DFH.

如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B,C,G在同一直线上,点M是AE的中点.
(1)探究线段MD,MF的位置关系,并证明.

解题思路:(1)小明猜测MD⊥MF,看到图1中M是AE的中点,并且AD∥EF,考虑延长DM交EF于点H,如下图,先利用全等三角形的判定定理           ,证明           ,由全等的性质可以得到           ,所以CD=EH,进而可以得到FD=FH,在等腰△DFH中,由等腰三角形三线合一,得到           ,从而证明结论.
以上横线处,依次所填正确的是(    )
①AAS;②ASA;③SAS;④△ADM≌△EHM;⑤△FDM≌△FHM;⑥DM=HM,AD=HE;⑦FD=FH;⑧MF⊥DH;⑨FM平分∠DFH.

已知:如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F,图1、图2是旋转三角板所得图形的两种情况.
(2)若点E和点F分别在AB和BC边的延长线上时,如图2,OE=OF还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.

解题思路:(2)类比(1)的思路,添加的辅助线是           ,因为AB=BC,∠ABC=90°,所以△ABC是一个等腰直角三角形;根据点O是AC的中点,得到BO⊥AC,进而得到△BOC是等腰直角三角形,所以OB=OC,∠ACB=∠CBO=45°,又因为∠EOF=90°,根据           ,可以得到           ,又因为∠OBE=∠OCF=135°,根据全等三角形判定定理           ,可以得到           ,根据全等三角形的性质可以得到OE=OF.
①连接OB,②连接OB,使OB⊥AC,③∠BOE=∠FOC,④∠AOE=∠FCO,⑤同角的补角相等,⑥同角的余角相等,⑦△AOE≌△COF,⑧△BOE≌△COF,⑨AAS,⑩ASA,
以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F,图1、图2是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)若点E和点F分别在边AB和BC上,如图1,求证:OE=OF

解题思路:(1)连接OB,如下图,根据AB=BC,∠ABC=90°,可以得到∠C=45°,根据点O是AC的中点,得到BO⊥AC,BO平分∠ABC,∠ABO=45°=∠C,进而得到△BOC是等腰直角三角形,所以OB=OC,又因为∠EOF=90°,所以∠EOF=∠BOC=90°,根据           ,可以得到∠BOE=∠COF,根据全等三角形判定定理           ,可以得到           ,根据全等三角形的性质可以得到OE=OF.
①同角的补角相等,②同角的余角相等,③△AOE≌△COF,④△BOE≌△COF,⑤AAS,⑥ASA
以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B、C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CF⊥AE于点F.
(3)若直线AE绕A点旋转到如图3的位置时(BD>CF),其余条件不变,则BD与DF、CF的数量关系是(    )

已知:如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B、C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CF⊥AE于点F.
(2)若直线AE绕A点旋转到如图2的位置时(BD<CF),其余条件不变，则BD与DF、CF的数量关系如何？请给予证明．

解题思路:(2)类比第(1)问,猜测DF=BD+CF.
∠BAC=90°,BD⊥AE,CF⊥AE,得到∠ADB=∠AFC=90°,所以∠2+∠1=90°,∠2+∠3=90°,得到             理由是                      .
又因为AB=AC,∠BDA=∠AFC=90°,因此根据全等三角形判定定理           ,可以得到           ,由全等的性质得到CE=AF,BE=CF,最后得到DF=DA+AF=CF+BD.
①∠3=∠1;②∠1=∠4;③同角的余角相等;④同角的补角相等;⑤△ADB≌△AFC;⑥△ADB≌△CFA;⑦AAS;⑧ASA;
以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B、C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CF⊥AE于点F.
(1)试证明BD=DF+CF.

解题思路:(1)由∠BAC=90°,BD⊥AE,CF⊥AE,得到∠ADB=∠AFC=90°,所以∠BAD+∠1=90°,∠BAD+∠FAC=90°,得到             理由是                      .又因为AB=AC,∠BDA=∠AFC=90°,因此根据全等三角形判定定理           ,可以得到           ,由全等的性质得到CE=AF,BE=CF,最后得到BD=AF=AD+DF=CF+DF.
①∠BAD=∠ACF;②∠FAC=∠1;③同角的余角相等;④同角的补角相等;⑤△ADB≌△AFC;⑥△ADB≌△CFA;⑦AAS;⑧ASA;
以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.连接AC,BD交于点P.
(3)如图3,把题目中“点C为OB中点”改为“BC:CO=1:n”,当AD:DO=1:m时,求的值.

解题思路:类比第1题,第2题,过点D作DE∥OB交AC于点E,则AE和CE的数量关系是        ,EP和CP的数量关系是        ,的值是        .以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.连接AC,BD交于点P.
(2)如图2,当AD:DO=1:m时,求的值;

解题思路:类比第1题,过点D作DE∥OB交AC于点E,则AE和CE的数量关系是        ,EP和CP的数量关系是        ,的值是        .以上横线处,依次所填正确的是(    )