如图，已知AD是△ABC的角平分线，给出以下四个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③AD⊥BC；④S_△ABD=S_△ACD，添加其中一个条件可证明BD=CD，这个条件可以是(    )

如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于
点M，N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：                  ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数有          个；
（3）图2中，当∠D=50°，∠B=40°时，求∠P的度数；
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

（2019上海）如图，AD，BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．求证：∠E=∠C．

如图，在△ABC中，∠A=78°，∠ACD是△ABC的一个外角，，，则∠E=____．

探究：
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
求证：∠P=90°+∠A．
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．

在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数．
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，则∠EFD与∠C-∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图3中画出符合题意的图形并说明理由；若不成立，请直接写出成立的结论．

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE与DF不重合，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．

如图，平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上的动点，点B为y轴正半轴上的动点，△AOB中∠BAO的平分线与△AOB的外角平分线交于点C，则下列语句中正确的是(    )

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，两个锐角的平分线相交于点D，则∠ADE=____度.

如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，连接CD，AD，
BD，若∠CAD=∠CBD=15°，BC=4，则CD的长为(    )