已知：如图，在梯形ABCD中，AB=DC=8cm，BC=10cm，∠B=∠C，点E为边AB的中点，如果点P在线段BC上由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上以每秒2cm的速度由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点P的运动速度．

如图，等边△ABC中，在顶点A、C处各有一只蚂蚁，他们同时出发，分别以1cm/s的速度由A向B和由C向A爬行，经过t秒后，他们分别到达D，E处．请问两只蚂蚁在爬行过程中：
（1）BE与CD有何数量关系，为什么？
（2）BE与CD所成的∠BFC的大小是否发生变化？若有变化，请说明理由，若没有变化，求出∠BFC．

如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．
（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．
（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，问EF=BE-AF，成立吗？说明理由．
（2）如图2，若0°＜∠BCA＜90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE-AF仍然成立．你添加的条件是，并给出证明．
（3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并给出证明．

如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．
求证：AE=BE+DF．
     

在正方形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在DC延长线上，EAF=45°．
求证：DF=EF+BE．    

已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．
     

如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB-AC>PB-PC．
     

在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：CD=AB+BD．
   

已知：如图，BD，CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．
判断线段AP和AQ的位置关系和数量关系，并证明．